4 bài toán của tác giả Việt Nam được chọn vào đề thi Olympic quốc tế

Bài toán của tác giả Trần Quang Hùng - đề IMO năm 2025

Mới đây, ở kỳ thi Olympic Toán quốc tế năm 2025, bài toán hình học duy nhất trong đề thi là bài số 2, do Việt Nam đề xuất và tác giả là thầy Trần Quang Hùng, giáo viên Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thuộc Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội.

Bài toán được chọn làm câu số 2 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2025 ngày 1 của tác giả Trần Quang Hùng như sau:

Dịch:

Đây là lần thứ tư Việt Nam có bài toán được chọn vào đề thi chính thức của IMO, sau các năm 1977 (tác giả: Phan Đức Chính), 1982 (tác giả: Văn Như Cương) và 1987 (tác giả: Nguyễn Minh Đức).

Bài toán của tác giả Phan Đức Chính - đề IMO năm 1977

Bài toán được chọn làm câu số 2 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1977 của tác giả Phan Đức Chính như sau:

“In a finite sequence of real numbers, the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence”.

Dịch:

Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của 7 số hạng liên tiếp bất kỳ luôn là số âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kỳ là số dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số.

Cố PGS.TS Phan Đức Chính (1936-2017) là một trong những giáo viên đầu tiên của lớp chuyên Toán A0, Trường ĐH Tổng hợp (nay là lớp chuyên Toán, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thuộc Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội).

Ông đã tham gia đào tạo nhiều học sinh giỏi đạt huy chương Toán quốc tế; từng là phó đoàn, trưởng đoàn Việt Nam tham dự IMO. Ông cũng là người đã viết, dịch nhiều giáo trình Toán học kinh điển ở Việt Nam.

Bài toán của tác giả Văn Như Cương - đề IMO năm 1982 

Bài toán được chọn làm câu số 6 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1982 của tác giả Văn Như Cương như sau:

“Let S be a square with side length 100. Let L be a path within S which is composed of line segments A0A1, A1A2, A2A3..., A(n-1)An with A0 ≠ An. Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2. Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198”. 

Dịch:

Cho S là hình vuông với cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2..., A(n-1)An với A0 ≠ An. Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2.

Chứng minh rằng: Tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1, và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.

Bài toán của cố PGS Văn Như Cương năm 1982 được đánh giá không chỉ rất khó mà còn độc đáo. Theo GS Trần Văn Nhung, nguyên Thứ trưởng Bộ GD-ĐT, nhiều nước muốn loại bài này ra khỏi đề thi nhưng Chủ tịch IMO năm đó đã quyết định giữ lại và khen “rất hay”.

Tuy nhiên, bài toán trong đề thi chính thức đã được sửa điều kiện. Các dữ liệu đậm tính văn thơ với "ngôi làng", "dòng sông" trong đề gốc cũng được chuyển thể thành ngôn ngữ đậm chất Toán học hơn.

GS Ngô Bảo Châu cũng đánh giá bài toán của thầy Văn Như Cương là một trong những bài hay và thú vị nhất lịch sử IMO.

Cố PGS.TS Văn Như Cương (1937-2017) là một nhà giáo, nhà biên soạn sách giáo khoa phổ thông và giáo trình đại học bộ môn hình học, Ủy viên Hội đồng giáo dục quốc gia Việt Nam. Ông cũng là người sáng lập nên trường dân lập đầu tiên tại Việt Nam là Trường THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội).

Bài toán gốc của PGS.TS Văn Như Cương:

Ngày xưa có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh dài 100km. Có một con sông chạy ngang quanh làng. Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5km.

Hãy chứng minh rằng có hai điểm trên sông có khoảng cách đường chim bay không quá 1km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không nhỏ hơn 198km. (Giả sử lòng sông rộng không đáng kể).

Bài toán của tác giả Nguyễn Minh Đức - đề IMO năm 1987

Bài toán được chọn làm câu số 4 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1987 của tác giả Nguyễn Minh Đức như sau:

“Prove that there is no function f from the set of non-negative integers into itself such that f(f(n)) = n + 1987 for every n”.

Dịch: Chứng minh rằng không tồn tại hàm f xác định trên tập số nguyên không âm, thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = n + 1987 với mọi n.

TS Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh Trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, từng giành Huy chương Bạc tại IMO năm 1975. Trước khi nghỉ hưu, TS Đức là cán bộ nghiên cứu của Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (IMO) được tổ chức thường niên kể từ năm 1959. Việt Nam bắt đầu tham gia sân chơi này từ năm 1974.

Theo quy trình, trước kỳ thi, trưởng đoàn của mỗi nước sẽ tập hợp các bài toán đề xuất rồi gửi ban chọn đề của nước đăng cai tổ chức kỳ thi. Tác giả của các bài toán từ mỗi nước không nhất thiết phải là người trong đoàn mà chỉ cần là người của nước đó. 

Thông thường, mỗi năm có hơn 100 bài được gửi đề nghị. Nước đăng cai kỳ thi sẽ chọn ra danh sách rút gọn khoảng 30 bài. Trước khi kỳ thi diễn ra vài ngày, trưởng đoàn các nước sẽ bỏ phiếu để chọn ra 6 bài chính thức cho đề thi năm đó.