Hóa giải giả thuyết toán học 55 năm tuổi: Kỳ tích của giáo sư người Việt và cộng sự

aA

Sau hơn nửa thế kỷ nằm im như một thách thức dai dẳng đối với giới nghiên cứu toàn cầu, giả thuyết toán học trứ danh do cố giáo sư Ronald Graham đề xuất vào năm 1971 đã chính thức được giải quyết trọn vẹn.

Người tạo nên bước ngoặt lịch sử này là nhà toán học Việt Nam Phạm Tuấn Huy cùng nhà nghiên cứu Lisa Sauermann, khép lại hành trình 55 năm đi tìm lời giải cho một bài toán tổ hợp hóc búa.

Bí ẩn 55 năm từ cảm hứng nghệ thuật tung hứng

Cố giáo sư Ronald Graham không chỉ là một nhà toán học kiệt xuất mà còn được biết đến là một nghệ sĩ tung hứng chuyên nghiệp. Chính sự kết hợp độc đáo này đã dẫn dắt ông đưa ra một bài toán tư duy thú vị vào năm 1971: Cho một tập hợp ngẫu nhiên bao gồm các số nguyên khác nhau và không chứa số 0, liệu có luôn tồn tại một trật tự sắp xếp sao cho các "tổng tích lũy" – tức phép cộng nối tiếp của hai số đầu, ba số đầu rồi bốn số đầu – đều tạo ra những giá trị hoàn toàn phân biệt?

toán ảnh 1 — Nhà toán học Ronald Graham. Ảnh: Quanta Magazine.

Trong nghệ thuật tung hứng, nguyên lý này tương đương với việc căn chỉnh thứ tự tung các quả bóng bay lượn sao cho không có hai quả bóng nào rơi xuống tay cùng một thời điểm, tránh làm hỏng màn trình diễn. Nếu xét trên tập số thực, bài toán tương đối đơn giản vì chuỗi tổng sẽ liên tục biến đổi hoặc gia tăng. Tuy nhiên, thách thức thực sự nảy sinh khi Graham đặt bài toán vào không gian hữu hạn của phép tính số học đồng hồ – nơi các con số tự động lặp lại theo chu kỳ sau một số nguyên tố p nhất định.

Cố giáo sư đưa ra giả thuyết rằng câu trả lời khẳng định là có. Trực giác của Graham xuất phát từ một quan niệm quen thuộc trong toán học: ngay cả khi phải chịu những ràng buộc ngặt nghèo nhất, cấu trúc bên trong vẫn luôn bảo đảm đủ độ linh hoạt cần thiết để hình thành một trật tự tương thích. Dẫu vậy, suốt nhiều thập kỷ trôi qua, trực giác ấy vẫn chỉ dừng lại ở dạng giả thuyết khi chưa một ai tìm ra cách chứng minh tính đúng đắn của nó.

Cuộc hội ngộ tại Đức và chiến lược "phản tập trung" đột phá

Điểm nút của bài toán bắt đầu được tháo gỡ từ mối lương duyên học thuật giữa Phạm Tuấn Huy (Viện Công nghệ California, Mỹ) và Lisa Sauermann (Đại học Bonn, Đức). Cả hai vốn là bạn cũ, lần đầu gặp nhau tại Đại học Stanford vào năm 2015 khi Sauermann đang làm nghiên cứu sinh còn Huy là sinh viên đại học. Đến tháng 9/2025, họ có dịp tái ngộ tại một hội nghị chuyên môn tổ chức ở Đức. Sau khi lắng nghe hai bài báo cáo thừa nhận giới nghiên cứu vẫn đang bế tắc trong việc lấp đầy khoảng trống ở trường hợp kích thước trung bình của bài toán Graham, hai nhà khoa học trẻ đã quyết định cùng nhau dấn thân thử sức.

toán ảnh 2 — Nhà toán học Phạm Tuấn Huy. Ảnh: Claymath.

Thay vì đi theo lối mòn, Sauermann và Phạm Tuấn Huy tiếp cận phần còn lại của bài toán bằng kỹ thuật mang tên phản tập trung (anti-concentration), với tư tưởng cốt lõi là chứng minh một sự kiện "xấu" có xác suất xuất hiện cực kỳ thấp. Khởi đầu bằng việc sắp xếp ngẫu nhiên tập hợp số như các bậc tiền bối, họ thiết lập một chu trình sửa chữa các đoạn có tổng bằng 0 bằng cách thay thế phần tử cuối cùng của đoạn đó bằng một con số khác.

Quy trình sửa chữa này dẫu thông suốt nhưng vẫn có nguy cơ thất bại ở ba tình huống hiểm hóc: đoạn tổng bằng 0 rơi vào quá sát cuối dãy khiến không còn số dự phòng để thay thế; quá nhiều đoạn xấu nằm san sát nhau khiến hệ thống không thể xử lý hết; hoặc việc sửa một đoạn lại vô tình kích hoạt thêm một đoạn tổng bằng 0 mới. Để hóa giải, nhóm nghiên cứu đã vận dụng công cụ phân tích Fourier – phương pháp biểu diễn các hàm số phức tạp thành tổng của các dạng sóng đơn giản hơn – để chứng minh cả ba kịch bản tiêu cực trên đều hiếm gặp đến mức tổng xác suất xảy ra chúng luôn nhỏ hơn 100%.

Thông qua công cụ phân tích Fourier, hai nhà toán học chỉ ra rằng khi cộng các tập hợp số được chọn ngẫu nhiên, không một giá trị tổng nào có xác suất xuất hiện vượt trội. Nắm chắc cơ sở này, họ ước tính thận trọng từng tình huống xấu và đi đến kết luận rằng nguy cơ thất bại tổng thể nhỏ hơn 100%, đồng nghĩa với việc luôn luôn tồn tại một phương án sắp xếp thỏa mãn trọn vẹn giả thuyết của Graham.

Bản chứng minh 27 trang gây chấn động giới toán học thế giới

Vào tháng 2/2026, Sauermann và Phạm Tuấn Huy chính thức công bố công trình nghiên cứu dài 27 trang trên nền tảng lưu trữ học thuật arXiv. Không chỉ dừng lại ở việc chứng minh sự tồn tại của cách sắp xếp phù hợp, thuật toán của họ còn tạo nên ấn tượng mạnh mẽ khi có thể loại bỏ các sự cố xấu từ một trật tự sắp đặt ngẫu nhiên ban đầu với tỷ lệ thành công lên tới ít nhất 90% – một con số vượt trội ngoài mong đợi.

Tốc độ giải quyết bài toán cùng tư duy mới mẻ đã khiến giới nghiên cứu bất ngờ. Nhà toán học Alp Müyesser thuộc Đại học Oxford đã phải thốt lên rằng nhóm tác giả sở hữu một cách tiếp cận hoàn toàn khác biệt so với những người đi trước.

Thành công vang dội này tiếp tục nối dài chuỗi thành tích học thuật đáng nể của Giáo sư Phạm Tuấn Huy. Sinh năm 1996, anh từng là thủ khoa đầu vào lớp chuyên Toán của trường Phổ thông Năng khiếu trực thuộc Đại học Quốc gia TP.HCM và xuất sắc giành liên tiếp 2 huy chương vàng Olympic Toán quốc tế (IMO) vào các năm 2013 và 2014. Sau khi hoàn thành bằng cử nhân Toán học và thạc sĩ Thống kê tại Đại học Stanford, đồng thời lấy bằng thạc sĩ nghiên cứu cao cấp về Toán tại Đại học Cambridge, anh tiếp tục bảo vệ thành công luận án tiến sĩ toán học tại Stanford.

Năm 2023, tài năng của nhà toán học người Việt được công nhận khi anh vinh dự nhận học bổng danh giá Clay Research Fellow. Hiện tại, trên cương vị giáo sư tại Viện Công nghệ California, các hướng nghiên cứu mũi nhọn của Phạm Tuấn Huy tập trung sâu vào lý thuyết tổ hợp và xác suất, đặc biệt là bài toán phân tích các mạng lưới ngẫu nhiên và mạng lưới quy mô lớn.

PV (SHTT)